切点弦公式是指圆上一点P到圆外一条割线AB所对应的割弦CD的长度等于切线CP与线段BP的积,即CD = CP × BP。
这个公式可以用来计算圆上的弦长或切线长度。
这个公式的推导可以通过利用相似三角形以及勾股定理来得出。
具体而言,我们可以先设圆心为O,切点为P,相应的角度为θ,则有切线CP与直线OP相互垂直,即CP × OP = r² (r为圆的半径),又因为∠BPA为直角,所以有OP² + BP² = OB²,化简可得OP = √(OB² - BP²),代入前面的式子,可得CD = r² √(r² - BP²)。
回答如下:切点弦公式是指在一个圆上,两点A、B的弦所对应的两个弧上各取一点,连接这两个点并将其与弦的中点相连,则这条中线垂直于弦且长度相等。
设圆心为O,弦AB的中点为M,弧AM的端点为D,弧BM的端点为E,连接MD和ME,则∠AMD=∠EMB=90°,且∠AOM=∠BOM=90°(因为OA、OB分别是圆的半径),因此四边形AMED是一个矩形,即AM=ME,同理可得BM=MD。
因为AM=ME,所以AM+ME=2AM,同理可得BM+MD=2BM,因此AM+ME=BM+MD。由于AM=BM,所以ME=MD,即弦AB的中垂线ME=MD,证毕。
切点弦公式是指在圆上任意两点A(x1,y1)、B(x2,y2)间的弦AB所在直线与圆的交点C的坐标(x3,y3)的计算公式。公式为:x3 = [x1y2 + x2y1 + (y1 - y2)r^2] [2(x1 - x2)],y3 = [y1 + y2 + x3(x2 - x1) (y1 - y2)] 2,其中r是圆的半径。公式推导过程中需要运用平面几何知识和求解二元一次方程的方法。
过圆x²+y²=r²外一点P(x0,y0)作切线PA,PB,A(x1,y1),B(x2,y2)是切点,则过AB的直线xx0+yy0=r²,称切点弦方程。
证明:x²+y²=r²在点A,B的切线方程是xx1+yy1=r²,xx2+yy2=r²
∵点P在两切线上
∴x0x1+y0y1=r²,x0x2+y0y2=r²
此二式表明点A,B的坐标适合直线方程xx0+yy0=r²,而过点A,B的直线是唯一的
∴切点弦方程是xx0+yy0=r²
说明:
切点弦方程与圆x²+y²=r²上一点T(x0,y0)的切线方程相同。
过圆(x-a)²+(y-b)²=r²外一点P(x0,y0)作切线PA,PB,切点弦方程是(x-a)(x-x0)+(y-b)(y-y0)=r²。