求特征值的传统方法是令特征多项式| AE-A| = 0。
求出A的特征值,对于A的任一特征值h,特征方程( aE- A)X= 0的所有非零解X即为矩阵A的属于特征值N的特征向量两者的计算是分割的,一个是计算行列式,另一个是解齐次线性方程组,且计算量都较大。
一、特征值特征向量定义。
即利用特征多项式可以求出所有的特征值,
特征值之和等于原矩阵对角线元素之和。
特征值的乘积等于原矩阵A的行列式的值。
特征多项式的乘积等于矩阵之积。
2、具体例子的求解方法。
计算:A的特征值和特征向量。
化简。
令x=1,便可得出一个基础解系:
同理当。
令|A-λE|=0,求出λ值。A是n阶矩阵,Ax=λx,则x为特征向量,λ为特征值。
设矩阵为A,特征向量是t,特征值是x,At=x*t,移项得(A-x*I)t=0,
∵t不是零向量
∴A-x*I=0,(2-x)(1-x)(-x)-4(2-x)=0,化简得(x-2)(x^2-x-4)=0,
∴矩阵有三个特征值:2,(1±根号17)2。把特征值分别代入方程,设x=(a,b,c),可得到对于x=2,b=0,a+c=0,对应x=2的特征向量为(-1,0,1)(未归一化),其它x的一样做。
求矩阵的全部特征值和特征向量:
1、计算的特征多项式;
2、求出特征方程的全部根,即为的全部特征值;
3、对于的每一个特征值,求出齐次线性方程组:的一个基础解系,则的属于特征值的全部特征向量是(其中是不全为零的任意实数)
[注]:若是的属于的特征向量,则也是对应于的特征向量,因而特征向量不能由特征值惟一确定。反之,不同特征值对应的特征向量不会相等,亦即一个特征向量只能属于一个特征值。